구간 별 함수 영향력 죽이기
주어진 함수 f(x)의 그래프가 다음과 같습니다.
단순하게 생각할 때 이 함수에 어떤 함수 g(x)를 곱하면
구간 [t-1, t+1]에선 g(x)의 함숫값이 0에 더 가까워지고
구간 (-\infty, t-1)과 구간 (t+1, \infty)에선 g(x)의 함숫값이
힘을 잃어버리게 될 것입니다.
예를 들어 위 함수에 cos(ㅠx)를 곱하면 그래프가 다음과 같습니다.
t=1일 때 구간 (-\infty, 0)와 구간 (2, \infty)에서는
g(x)가 아무런 힘을 쓰지 못하게 되었고,
구간 [0, 2]에서는 곡선 g(x)의 그래프와 비교할 때
각각 x=t-1과 x=t+1에 해당하는 부분에 가까울수록
그래프가 0에 더 가까워졌음을 확인할 수 있습니다.
미분해서 도함수의 부호를 조사하는 것도 의미가 있겠지만
직관적으로 생각해 볼 때 x절편 조사해두고
기존 곡선보다 조금씩 y축에 더 가깝게 그래프를 그려주면
간단하게 이해해 보는 데 도움이 될 수 있겠습니다.
a=-3, b=-4 정도로 예시를 들어보았을 때
함수 f(x)-|f(x)|의 그래프는 다음과 같습니다.
f(x)의 함숫값이 음이 아닌 실수일 때는 0을,
음의 실수일 때는 그것의 두 배인 값을
함숫값으로 하는 함수임을 확인할 수 있습니다.
만약 함수 f(t)-|f(t)|를 구간 [0, x]에서 적분한 것을
x에 대한 함수 h(x)라 생각해 본다면
(a, b)=(-3, -4)인 경우에 h(x)는
어떤 양의 실수 k에 대해 구간 (-\infty, -k)와
구간 (k, \infty)에서는 상수함수이고
구간 [-k, k]에서는 감소한다 생각할 수 있겠습니다.
비슷한 맥락입니다.
f(x)는 대충 sin함수이고 f(ㅠx)도 마찬가지입니다.
g(x)는 구간에 따라 0 또는 1을 함숫값으로 가집니다.
g(x)=0인 구간에서 f(x)는 소멸하고
g(x)=1 구간에서 f(x)는 유지될 것입니다.
이러한 논리로 두 적분값을 확인해 보시면
어떤 값 k가 양의 실수 p에 대해 0 이상 p 이하일 때
k=p가 되어야 하는 느낌으로 풀이를 이어가실 수 있습니다.
(나) 조건에 g(x)에 곱해져있는 두 함수의 그래프를 확인해보면 다음과 같습니다.
먼저 함수 |x(x-1)|+x(x-1)의 경우
구간 (-\infty, 0)과 구간 (1, \infty)에선 0을,
구간 [0, 1]에서는 각 x값에 대해 2x(x-1)을 함숫값으로 합니다.
함수 |(x-1)(x+2)|-(x-1)(x+2)의 경우
구간 [-2, 1]에서는 0을,
구간 (-\infty, -2)과 구간 (1, \infty)에서는 -2(x-1)(x+2)을
함숫값으로 하는 것을 확인할 수 있습니다.
여기에 어떤 함수 g(x)를 곱한다면
구간 별로 영향력이 변할 것입니다.
강해지거나, 줄어들거나, 사라질 것입니다.
강화, 약화, 소멸이라고도 이야기해 볼 수 있겠습니다.
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