Curl-Div
Curl-Divergence lemma라고 함수열의 수렴에 대해서 이야기 하는데 희한하게도 Curl과 Divergence에 bound를 주는 것을 가정으로 하고 있다. 직관적으로 이게 어떻게 연관되어 있는지 잘 와닿지 않는데, 일단 statement 먼저 보자.
The Curl-Div lemma. Suppose $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ weakly in $L^2(\Omega;\Bbb R^3)$ on a domain $\Omega\subset\Bbb R^3$ while the sequences $(\mathrm{div} u_m)$ and $(\mathrm{curl} v_m)$ are relatively compact in $H^{-1}(\Omega)$. Then for any $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ we have
$$\int_{\Omega}u_m\cdot v_m\varphi dx\to\int_{\Omega}u\cdot v\varphi dx$$
as $m\to\infty$.
여기서 나오는 $\cdot$ 은 Euclidean space에서의 내적을 의미한다. Statement의 의미를 다시 말하면, 미분에 bound를 줘서 nonlinear expression 의 weak continuity를 얻어내는 것이다.
이걸 differential form의 언어로 바꿔서 표현을 하기 시작하면, 이 curl과 div에 boundness 조건을 주는 것이 weak convergence에 어떤 영향을 주는지 좀 더 직관적으로 드러난다.
$M$을 closed oriented smooth $n$-manifold라고 하자. 이제 $u_m\rightharpoonup u, v_m\rightharpoonup v$ in $L^2$ such that $(d^* u_m), (dv_m)$ 들이 $H^{-1}$에서 relatively compact라고 하자. 이 조건은 위의 Curl-Div lemma에서 Curl과 Div의 relative compactness와 대응된다. $u_m, v_m$을 $u_m - u, v_m - v$로 바꿔서, $u = 0, v = 0$으로 가정할 수 있다. 그러면 Hodge decomp.에 의해,
$$u_m = da_m + d^* b_m + c_m,$$
$$v_m = df_m + d^* g_m + h_m,$$
where $c_m,h_m$ are harmonic 1-forms and $a_m \rightharpoonup 0, b_m \rightharpoonup 0, f_m \rightharpoonup 0, g_m \rightharpoonup 0$ in $W^{1.2}(M)$, $c_m \rightharpoonup 0, h_m \rightharpoonup 0$ in $L^2(M)$ 이런 것을 얻을 수 있다.
Hodge decomp.의 consequence중 하나가 $M$위에서의 space of harmonic 1-form들의 공간은 locally compact이다. 따라서, smooth하게 $c_m \to 0$, $h_m \to 0$ 된다. 또한 가정에 의해서 $\Delta a_m = d^* u_m, \Delta g_m = dv_m$이 $H^{-1}$에서 relatively compact이기 때문에, $(da_m),(d^* g_m)$은 $L^2$에서 precompact하게 들어가있다. 따라서,
$$u_m = d^* b_m + o(1),\quad v_m = df_m + o(1),$$
in $L^2$가 된다. 또한,
$$\langle u_m,v_m\rangle_g \omega_g = \ast (\langle d^*b_m, df_m\rangle_g) = (d\ast b_m)\wedge df_m = d((\ast b_m)\wedge df_m),$$
임을 알 수 있다. 여기가 그 "미분"의 모습이 드러나는 핵심적인 부분이다.
구체적으로 말하진 않겠지만, Rellich theorem 이라는 것이 있는데, 이것은 $b_m\to 0$ in $L^2$임을 imply한다. 따라서
$$\int_M \langle u_m,v_m\rangle_g\varphi\omega_g = \int_M d((\ast b_m)\wedge df_m)\varphi + o(1) = (-1)^n \int_M (\ast b_m)\wedge df_m\wedge d\varphi + o(1) = o(1).$$
따라서 앞선 Curl-Div lemma와 같은 결론을 낸다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
홍대 인문논술 0
신분증이나 수험표 가지고 가야할 거 없나요? 진학사원서접수에 수험표가 안 나와있는데...
-
완전... 빠 내 빠 내 버렸어요~...^^;;
-
나머지를 거의100에수렴해야되나? 하시붕
-
예전 몇년동안은 뉴런도 다 못끝내고 드릴은 시작조차도 해보지도 않고 탐구 개념은...
-
9모 국어 특) 6
??? : 아진짜 너무 쉽다 다 맞거나 한개 틀린듯 ??? : 다맞음 ㅇ{ 시발??...
-
1티어 1906 가형: 27+3 기조 탈피, 준킬러 강화 시험함, 그때는 21번이...
-
국82점 수 역시 좃망 걍 자살 국어 그래도 적당히 잘나와서 수학도 기대했는데......
-
올해 6,9평 2
출제한 사람들 똑같나요 아니면 변화 있었나요??
-
우리 그냥 친한 친구 사이로 지내자
-
일본 지하철 4
역 입구부터 해서 몇십초 간격마다 띵 ~~~ 동 ~~~소리 반복해서 나오던데 역마다...
-
쎈B 120문제 풀고 고치는데 10시간 걸림 .........지수 70문제 7시간,...
-
주인공이랑 사실혼관계인 전남편인데 이름 나올 때마다 몰입 깨짐 댓글에서 사람들이...
-
대성마이맥 대학생 수학강사 공개선발 [매쓰코리아 유니버시티] 예선 1차 개인적 후기 0
안녕하세요, 22수능 미적분 100점으로 연세대 경제학부 합격 후 태재대와 동시...
-
12와 서로소, 12보다 큰 자연수 작은 순서대로 an 1.ak>=100 제일 제일...
-
연논붙고싶다 0
-
11 12 13 14 15 21 22 28 30 찍음 11은 안보여서 넘겼고 15는...
-
성적표 못받을뻔
-
수능 등급 0
국(언매) 낮2 수(확통) 낮2 영 1or2 한국사1 사탐 각각 만점 혹은 1컷...
-
아니 문학 쉬웠다는데 2점짜리만 3개씩 틀리냐고 걍 문학을 개못하는듯
-
이거사면되나요?
-
ㅎㅇ용 5
-
루트를 왤케 좋아해 미친새끼 내가 바보같이 계산체육한줄 알았는데 해설지 보니까 진짜...
-
flex 인증 8
여행가고 싶어서 10800원 주고 전자책 한 권 샀읍니다
-
=연애는 질병이다 질병: 힘들다, 내맘대로 되는거 아님, 삶의 질에 지대한 영향...
-
그럴 실력도 상황도 아니잖아
-
상상 모의고사 0
상상 모고 온라인용 시즌3 3차 풀어보신분 있음...? ㅈㄴ 어려운데??? 1컷...
-
화작 1
7분이나 8분컷은 대체 어케하는거임?
-
하
-
날씨가 좋구나 14
날씨도 좋고 주말인데, 책이나 봐야지... 피곤하고 귀찮아 ㅠ
-
매일 러닝 40분씩 하는데 그때도 노래들으면 안되겠죠...?ㅠㅠ
-
광배랑 대퇴이두 힘 딱 주고 했어 ㅠㅠ 위로해줘 ㅠㅠ
-
성적은 8
우하향그래프 그리고 불연속
-
이게 리트중에서도 ㅈㄴ 어려운편임? 비실독 듣는데 ㅅㅂ 뭔얘긴지 1도 모르겠어서...
-
그래... 내가 키라다!
-
진작에 기강 잡아뒀을텐데 진짜 너무 아쉽다 하
-
갈릴레오 2
갈릴레오 피가로~
-
3번 선지가 대체 왜 맞는건가요 드이터 구조 그 자체의 속성이라고 여기는...
-
[단독] "막내 사비로 국장 밥산다"…공무원 57% 겪은 '모시는 날' 1
" 막내 직원들 사비를 걷어 부서에서 가장 많은 월급을 받는 국‧과장 식사를...
-
제곧내 허리 안 조아서 입학처에ㅜ몇 번이고 전화했는데 다 안 받고 큐앤에이 게시판에...
-
국어 이거 1
시간 부족해서 애매하게 다 읽는 거 보다 독서 젤 못하는 제제 지문남겨놓고 전개...
-
1학년 4.73 2학년 1학기 4.75, 2학기 3점대 초반(예상) 3학년 1학기...
-
미국 침구사는 아무나 할 수 있는 거라던데 그냥 나락인가요 ㅠㅠ
-
현재 고2 정시런데 접방 진짜 ㄴㅁㄴㅁㄴㅁㄴㅁ 어려워서 못풀겟고… 풀어도 맨날 다...
-
9평 4(...) 9덮 찍맞 제외 68 쌓여있는 콘텐츠 강K 강X 서킷 사규시즌 2
-
분류기준 안 주고 제시문 6개라 치면 3vs3 대신 4vs2로 낸다던가 변별 잘 될 텐데
-
할많하않... 공격 대상이 30번이 아니라 27번인건 좀 의외긴 하네
-
로또1등vs수능만점 10
로또1등금액 15억 실제로 평균5등급이 수학주관식제외 찍어서 만점받을 확류리 로또1등급확률임
-
현금 수요 추적, 부정적 피드백 루프, 비공식경제의 이중성 진입장벽(entry...
-
다양한 음악 장르의 역사
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.