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M oㅇmin [1211935] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2024-01-30 14:02:07
조회수 5,295

함수 그리는 게 익숙해야 합니다

게시글 주소: https://gaemichin.orbi.kr/00066932400




2~3 등급 분들을 과외하면서 느낀 건,  


본인의 풀이가 수식에 치우친 분들이 많다는 거였어요. 










   



그래서 이번 칼럼을 준비했습니다. 



"이럴 때 그려라" 와 같은 말을 하는 건 아니구요,


(애초에 그런 분류는 잘못된 접근이라 생각합니다.) 



함수를 그림으로 편하게 다루는 모습을 직접 보여드릴 겁니다.






그리고 이걸 하기에 딱 좋은 기출 문제가 있어요.


칼럼 주제에 맞게 문제의 일부만 가져오겠습니다 











위 조건을 가지고 f(x)를 그려야 하는 상황입니다.



수식적으로 열심히 미분하고 이거저거 해도 괜찮지만...


사실 그림 몇 개만 슥슥 그려서 끝낼 수 있어요. 









일단 왼쪽부터 그려봅시다. 



즉 얘를 그려야 하는데, x가 절댓값 밖에 있는 게 거슬리네요. 









이걸 그리라면 편하게 그릴텐데 말이죠. 






이때, 삼차함수의 절댓값함수를 그린 뒤에 x를 곱해야겠다고 생각하지 마세요.











절댓값은 무시한 채로 일단

이 놈을 그린 뒤에, 부호만 따로 처리해주는겁니다.







이렇게요.


삼차함수가 x가 0보다 작은 곳에서만 뒤집어졌으니까,

전체 함수도 x가 0보다 작은 곳에서만 뒤집어주면 되겠죠. 










지금까지 왼쪽 함수를 그렸습니다.


우린 f(x)가 궁금한거니까 양변을 미분 해야겠죠?







얘를 미분해줄 때 역시 그림만 보고 바로 도함수를 그릴 수 있습니다.





이렇게 되겠죠.

 

0, a, 2a 에서 x축 지나는 삼차함수 그린 뒤에 x가 음수인 부분만 뒤집어 준 셈입니다. 


이걸 미분해서 아는 게 아니라, 그림 보면서 바로 그리는거에요. 








이때 이 도함수의 최고차항 계수는 4가 됨을 잊지 마세요. 


사차함수 미분했으니 계수로 4가 튀어나왔겠죠.










지금 그린 이 함수가 


이 놈입니다. 왜냐면...









여기서 우항을 미분하면 (a-x) f(x)가 나오니까요.







그럼 아래 그림에서 (a-x)를 나눠준 그림이 f(x)겠죠.

(a-x)를 나누는게 헷갈리신다면, 

(x-a)를 나눈 다음에,  -부호 처리(함수를 x축 대칭) 해도 되겠습니다.


저는 방금 말한 방법으로 보여드릴게요.







우선 x-a로 나누면 



이렇게 되겠죠. 



이제 뒤집을게요.



드디어 f(x)를 그렸습니다.








이런 식으로 그림을 통해 바로 미분을 하고, 인수를 나누고, 절댓값 처리를 하고, 적분도 할 수 있어요.


익숙해진다면 정말 빨라질 겁니다. 













가벼운 예제 하나 보여드릴게요. 


 


이 삼차함수를 미분해야 합니다. 



전개를 한다면 너무 오래걸리겠죠.


곱미분도 은근 귀찮습니다.

도함수를 곱의 형태로 깔끔하게 쓰지도 못하구요.





이때 그림을 이용하는겁니다. 





도함수가 바로 보이죠.



가 되겠습니다. 








오늘 칼럼은 여기까지입니다. 


아까 푼 기출문항 원본 사진과 함께 끝내겠습니다. 

답은 4입니다.






#무민

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M oㅇmin [1211935]

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