[서울대 수교과] (불연속)x(연속), 연속함수=0이어도 불연속이라고?
-이전 칼럼 모음
[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수I 삼각형 https://orbi.kr/00062038781
[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수II 함수의 극한(1편) https://orbi.kr/00062106944
[서울대 수교과] 해설지 없이는 못 푸는 그대에게, 수II 함수의 극한(2편)https://orbi.kr/00062139886
[서울대 수교과] 함수의 연속, 정의역이 핵심이다. https://orbi.kr/00065494895
안녕하세요! 저는 전교꼴찌 하다가 서울대 두 번 들어온 신동성 이라고 합니다. 오늘도 수학칼럼으로 돌아왔습니다!
오늘은 함수의 연속 2편입니다.
불연속함수와 연속함수의 곱함수의 연속성, 즉 간단히 말해서
(불연속)x(연속)의 연속성은 함수의 연속 단원에서 매우 자주 나오는 주제입니다.
그럴만 한 게,
두 연속함수는 더해도, 빼도, 곱해도, 나눠도(분모가 0이 아니라면) 무조건 연속이고,
두 불연속함수는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 모두 직접 해봐야 하며,
불연속함수와 연속함수는 더해도, 빼도 무조건 불연속입니다.
그렇지만 (불연속)x(연속)은 연속이 되기 위한 아주 특별한 조건이 있어서, 그 조건만 체크하면 되죠?
많이들 알고 계시듯 그 조건은 바로, "불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값 = 0" 입니다.
그렇지만 이 조건은 사실 필요조건이기는 하지만 충분조건은 아니에요.
즉, (불연속)x(연속)에서 연속함수가 0임에도 불구하고, 곱함수 전체가 불연속일 수 있다는 거죠.
1. (불연속) x (연속) = (연속), "불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값 = 0"
우선은 혹시라도 저처럼 공부를 늦게 시작하신 분들을 위해, 이 내용부터 짚으며 시작해봅시다!
우선 (불연속) x (연속)의 간단한 예시를 살펴볼까요?
이렇게, 불연속함수 f(x)에 어떤 함수를 곱하냐에 따라, (불연속) x (연속)이 연속이 되기도 하고, 불연속이 되기도 하죠?
그런데,f(x)가 불연속인 x=1에 대해
곱함수가 연속인 위에서는 g(1) = 0이고
곱함수가 불연속인 아래서는 h(1) =/=0 임을 확인할 수 있어요.
눈치빠른 분들은 이미 아셨겠지만, (불연속) x (연속)이 연속이 되기 위해서는
불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값이 0이어야 해요.
가령, 불연속함수의 서로 다른 좌극한과 우극한에
연속함수의 같은 값을 곱해서
곱셈 결과가 같아지려면
곱하는 값이 무조건 0이어야 하지 않을까요?
수식으로 표현하자면,
이처럼, x=(알파)에서 불연속인 함수에 연속함수 g(x)를 곱해서 연속이 되려면,
연속함수의 함수값이 0이 되어야 함을 알 수 있어요.
그래서, 가령
이런 문제를 만나면
f(x)는 x=1에서만 불연속, 나머지에서는 무조건 연속
g(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로
f(x)g(x)가 x=1에서만 연속이 되면 되고,
이때 (불연속)x(연속)이므로
g(1)=0
=1+k
-> k=-1
이렇게 결론을 낼 수 있어요.
수능이나 내신에 아주 자주 나오는 성질이니, 잘 기억해두세요!
2. (불연속) x (연속), 연속함수 = 0 이어도 불연속이라고?
이제 오늘의 메인 주제입니다!
위에서 말씀드린 내용까지는 모두들 알고 계실 거에요.
그렇지만, (불연속)x(연속)에서
불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값=0임에도 곱함수가 불연속일 수도 있어요.
그게 어떻게 가능하냐고요?
바로 이렇게요.
어떻게 된 일일까요?
분모가 0으로 수렴해서 전체가 무한대로 발산하는 불연속함수에서는
연속함수 = 0 임에도 불구하고
곱함수의 극한값이 존재하지 않을 수 있기 때문이에요.
바로 위의 예시가 딱 이 경우죠.
분모가 0으로 수렴해서 전체가 무한대로 발산하는 불연속함수 f(x)에 대해,
불연속함수 f(x)의 불연속점 x = 1에서 연속함수 g(x)가 g(1) = 0임에도 불구하고
곱함수의 분모에 여전히 (x-1)이 남아있어서, 곱함수가 무한대로 발산해버리는 것이죠.
그렇다면, 곱함수가 발산하지만 않으면 연속이 될까요?
이 예시에서는, 연속함수 g(x)에 (x-1)을 하나 더 곱해줬어요.
그러면 곱함수 f(x)g(x)가 x=1에서 1로 수렴하네요.
그러나, 극한값과 함수값이 달라서 여전히 불연속이 되었습니다.
(x-1)을 한 번 더 곱해보면 어떨까요?
드디어 연속이 되었네요.
눈치채신 분들도 있겠지만, 극한값 = 0이 되어야만 연속이 돼요.
왜 그럴까요?
이렇게 결론낼 수 있겠어요.
따라서, (불연속) x (연속) = (연속) 이려면,
단순히 "불연속함수의 불연속점에서 연속함수 = 0" 뿐 아니라
"곱함수의 극한값 = 0" 이 되어야 하고,
그러기 위해서는
"0을 만드는 인수를 곱함수의 분자가 분모보다 더 가져야" 하겠죠?
마지막으로, 이 개념을 활용해서 아주 빨리 풀 수 있는 문제를 살펴보고 마치겠습니다.
2021학년도 고3 7월 모의고사 12번입니다!
쉽죠?
이상입니다!
그리고 오르비학원에서 강의 진행합니다!
도형 관련 무료특강
수학II 미분 관련 무료특강
수학II4주짜리 개념+기출 특강
https://academy.orbi.kr/gangnam/teacher/464
많이 관심가져주시면 감사드리겠습니다 헤헤,,
공부에 도움이 되었다면, 추천팔로우댓글 많관부!!!!!
다음 칼럼 주제 추천이나 관련 질문 쪽지, 댓글도 아주 환영합니다!!!
수학 외적인 것도, 공부 외적인것도 ㄱㅊ습니당
이상입니다!ㅂㅂㅂ~~
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
다들 킁킁거림..앞자리에 냄새좋은 여비서라도 계신가
-
수2보다 더 goat네 캬
-
블랭크 안나오는게 말이 안될정도로 쉽긴했음
-
지금 정신상태로 10살로 돌아가고싶다..
-
아니 ㅅ발 그정도야? 기껏해야 작9 지구정도 아니였나
-
노베 기적일지 D-45 “미루는 것은 쉬운 일을 어렵게 만들고 어려운 일을 더...
-
아이들을 방목형 육아하는 ㅈ반고 교사들에 지쳐 갓반사립고로 떠나심 그 쌤 맨날...
-
당시엔 43점이었는데 ㄹㅇ45는 뜰 것 같지 않음?
-
내가 교육부가면 1
1) 종합형 수시 폐지 2) 특별전형 기균빼고 전부 폐지 3) 정시 내신반영 비율...
-
낭만을 찾아 탄 배가 난파 직전이네
-
개념서 읽다가 역할 행동에 대한 제재의 예시에 '범죄자에 대한 비난'이 있는데...
-
국어 장클 3주차 독서지문 예습 듄스트라다무스 고전/현대문학 1강 복습&숙제...
-
9덮 물리 9
분석 해보니까 완전 전형적인 유형들이던데 수능이면 1컷 50뜨나요?
-
9모 언매 80점 맞았는데요. 이번 9모는 시간이 부족하진 않았지만 .. 매번...
-
생2런해야하나 0
물2이좆같은과목 생2섬개스완 사놓긴햇음 ㅇㅇ
-
의도하지 않았지만 이 뱃지랑 잘 어울리는군 후후
-
국어 5->4 영어 5->3
-
카투사에서 회화 최대한 익히기+토익 980이상 맞기 jlpt n1 합격
-
아래 문제들이 어떤 문제인지 제일 먼저 맞추면 500덕 1....
-
펑
-
평가원이사람들 1
21때 물리 그지랄해놓고 22 23순으로 어렵게낸다음에 24때 난이도 정상화...
-
컷 당하는거아닌가?
-
그 시험지를 찢는다"찢"을때 쾌감 지리네이거
-
밑에 등급컷 글 있길래
-
드디어
-
이왜진?
-
불끈!
-
ㅈㄱㄴ
-
명예훼손 전체를 성범죄에 편입한다고? 옯냐 그르냐를 떠나서 이게 법체계상 가능한...
-
싱가포르 4
-
변화하는 시대의 흐름을 따라가야지
-
84 84 100 1회는 진짜 기강잡기였던거임
-
상상 언매 9일차 서킷 23회 전국 엑셀 공통 2회 문학 공부 복습 오늘도 다들 수고하셨어요
-
과탐 쵸비상 9
만약 이대로 나온다면? ㅋㅋㅋㅋ
-
모든 전형 수능 30 생기부 30 내신 30 면접 10
-
“중립국.“ 2
"동무는 어느 쪽으로 가겠소?" "중립국." 그들은 서로 쳐다본다. 앉으라고 하던...
-
인버스좌 ㅋㅋㅋ
-
인강듣는데 자꾸 비통사적 합성어 파트에서 이건 어미없지 이것도 어미없지 이러길래 걍 현피뜨러감 ㅇㅇ
-
유웨이에서 9모 실채점컷 미리 업데이트해놓은 것 같네요 12
오늘 저녁에 갑자기 저걸로 컷 바뀌었던데 웬만하면 실채점 컷일듯요 저게 사실이면...
-
닥전아님??
-
수면을 취하기 그게 잠이니까
-
마스터 달성~~ 19
마빵단들 전부 차렷.
-
팥붕 vs슈붕 11
저는 슈붕
-
지구 강k 실모랑 oz실모 중 뭐가 더 어렵나요??
-
근데 통과되면 6
내가 야동보면 국가도 같이보는거임? ㄱㅆㅅㅌㅊ 야동보면 민주당햄도 어 그래 넘어가줄게 하지 않을까?
-
다음엔 무슨 청법이려나
-
언제든 몇번이든 마음이 안 좋네요 이번엔 뭐가 원인인지도 모르겠어요 처신 잘 한 거...
-
저번달에는 노란색 100원크기의 원이 간헐적으로 보여서 안과가서 비문증이라는...
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.