근사, 로피탈 팁
1. 테일러(맥클로린) 급수, 삼도극 근사
tan x, sec x 등은 수렴반경이 무한대가 아니어서 급수에 x = pi 등을 넣으면 발산하지만 x가 0으로 가는 상황일 확률이 높으므로 크게 상관없습니다.
sin x, cos x, e^x는 각 급수가 모든 실수에 대해서 수렴하고, cos x 외우기 귀찮으면 sin x 급수 미분하면 됩니다.
e^x는 미분하면 자기자신 나오는 급수 생각하면 됩니다.
여기에서 3차, 4차항까지 끊으면 삼도극 근사식이 나오죠. (x가 0으로 갈 때 고차항들은 충분히 작아지므로)
탄젠트 시컨트는 일반항이 복잡하고 규칙이 눈에 안 보이므로 대충 3차항까지만 외워도 충분합니다.
2.
로피탈은 엄연한 정리이므로 로피탈이 성립하지 않는 경우는 없습니다.
다만 조건을 정확히 알아야하는데,
0/0, +-무한/0, +-무한/+-무한의 부정형이고 분모분자 함수가 각각 미분가능할 때 쓸 수 있습니다. (0/무한은 그냥 0으로 수렴)
또한 분모분자를 각각 미분한 후에 나오는 극한이 수렴하거나 +-무한대로 발산해야만 성립합니다. 미분해서 나온 극한이 여전히 부정형이면 계속 미분해보면 돼요.
예를 들어 x가 양의 무한대로 발산할 때 (x + sin x) / x의 극한은 1로 수렴하지만 로피탈을 쓰면 cos x의 극한이 되어서 진동발산합니다. 이건 진동발산이라 성립하지 않는 것이고, 로피탈 썼는데 왜 진동발산이 아니냐 하시면 곤란합니다. 적어도 조건은 정확히 알고 써야돼요. (고등학교 지식으로 증명은 가능하지만 교과서에는 없는) 교과외 내용을 쓰는 이상 내용을 제대로 숙지하지 못해서 발생한 문제는 본인 책임일 수밖에 없습니다.
만약에 미분해서 얻은 극한식이 양의 무한대로 발산하면 원래 극한도 무한대로 발산합니다. (수렴하지 않더라도 +- 무한대 발산이면 원래 극한도 이를 따라감)
로피탈을 쓰면 오히려 식이 복잡해지도록 설계한 문제도 있으니 잘 안 풀릴 때만 로피탈을 최후의 수단으로 쓰는게 좋습니다.
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멱급수 사진은 인터넷에서 긁었는데 지금 보니 오타가 많네요. sin x 급수에서 x⁷ 분모는 y!이 아니라 7!이고 시그마도 n=1이 아니라 n=0부터입니다.