(해결완료) 포모 3회 14번 ㄷ, 풀이 오류좀 봐주세요.

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GeonuPark [367317]

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syzy · 418714 · 12/10/31 14:43 · MS 2012

풀이1,2 둘다 틀린 것 같아요. 문제 조건에 det(A)=1이 있는데, 풀이 1 중간에 보면 det(A) = 1+-루트3 /2 이라고 되어 있으니 모순이고 그 경우는 불가능합니다.
풀이2에서도, (A+A^-1 를 간단히 X라고 할게요) X^2 = -E 이면 X= +-i E 인가요..? 예를 들어

X= (0 1
-1 0)
같은 행렬도 제곱하면 -E인데..

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GeonuPark · 367317 · 12/10/31 14:50 · MS 2011

아하 계산을 떠나서 논리 자체가 모순이었었군요.

명쾌하게 해결되었습니다ㅎㅎ 감사합니다!

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Lyind · 307538 · 12/10/31 14:45 · MS 2009

풀이 2에서 제곱의 det가 -1이니까 그냥 행렬의 det는 1이 되면 안되는것 같아요~~ 근데 행렬에서 i를 쓰는 경우는 못 봤는데..
그리고 제곱행렬의 디터미넌트가 음수가 될 수 있나요? 아마 성분이 실수이면 안되는거 같은데..

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GeonuPark · 367317 · 12/10/31 14:53 · MS 2011

저는 그냥 해당 식을 만족하는 특정 A를 구하고 det를 역으로 끼워맞추고 있었군요;

아 이거 정말 기본적인 건데 이런 본질적인 실수를 하다니.. 전 이만 수1 복습하러 가겠습니다, 감사합니다!

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syzy · 418714 · 12/10/31 14:58 · MS 2012

아. 보니까 풀이 아래에 이미 Geonupark님이 질문을 달아놓으셨군요..ㅎㅎ

풀이1에서 의문은 '이차방정식 꼴로 나타내어져 있는 행렬식에서 근의 공식으로 kE꼴의 근을 구할 수 있는가'?
--> 그렇게 할 수는 없습니다. (다만 이차방정식 꼴 행렬 방정식을 풀 수는 있습니다. 아래에 댓글 달게요)

풀이2에서 의문은 '양변 제곱이 아닌 양변 제곱근이 가능한가'
--> 이것도 불가능합니다. 성립하지 않는 경우가 오히려 대부분입니다.

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GeonuPark · 367317 · 12/10/31 15:05 · MS 2011

그러고 보니 아직 해결 안 된 의문들이 남아 있었군요!

풀이1의 의문은 해결이 되었는데, 풀이2의 의문은 아직 잘 모르겠습니다.

양변 제곱은 행렬 문제를 풀 때 자주 쓰곤 하는데 왜 제곱근은 안 되는 것인가요? ±둘 다 구하고 무연근(?)처럼 대입해서 한 개를 지우면 안 되나요?

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syzy · 418714 · 12/10/31 15:09 · MS 2012

그것도 마찬가지입니다. 아래에 제가 댓글로 달아놓은 방식처럼 풀어야 합니다.

X^2 =-E를 풀려면, 일단 케일리 해밀턴에 의한 식 X^2 - (a+d)X +(ad-bc)E = O이라고 두시고 변변 빼서

(a+d)X = (ad-bc-1)E 를 얻은 후
a+d=0인 경우와 그렇지 않은 경우로 나눠서 풀어야 합니다. (아래댓글처럼) 이 경우도 답은 무한히 많습니다.

한 예로,

( 0 a
-1/a 0 )
과 같이 a를 변화시켜가면서 얻은 무한히 많은 행렬이, 제곱하면 모두 -E가 됩니다.

따라서 이것만 보아도 X^2 = -E의 해X는 무한히 많게 됩니다.

X^2 =-E를 만족하는 행렬을 모두 표기하면 다음과 같습니다.
( a b
-(1+a^2)/b -a )

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GeonuPark · 367317 · 12/10/31 15:14 · MS 2011

어이쿠.. 다항방정식같은 접근을 하면 절대 안 되겠네요..

대학가서 얼른 선형대수학을 배워야 겠어요ㅎㅎ

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syzy · 418714 · 12/10/31 15:05 · MS 2012

A^2 -(루트3)A+ E =0을 풀고 싶으시면 이렇게 해야 합니다.

행렬 A의 성분을 차례대로 a,b,c,d라 두시면, 케일리 해밀턴에 의해 A^2 -(a+d)A +(ad-bc)E = O
이 식과 윗 식을 변변 빼면

(a+d-루트3 )A = (ad-bc-1)E
(이렇게 해서 이차 방정식을 일차 방정식으로 바꾸는 것이지요)

(i) a+d=루트3 이라면, ad-bc=1입니다. 네 개의 문자가 2개의 조건을 만족하므로 이러한 실수a,b,c,d는 무한히 많습니다. 이러한 행렬들이 일단 모두 위 방정식의 해가 될 수 있습니다. 대각화(diagonalization)이라는 것이 있는데 대각화 하면 거의 유일한 형태로 표기 가능하긴 하나, 어쨋거나 무한히 많은 답이 있습니다.
(ii) a+d=루트3이 아니라면, 양변을 a+d-루트3으로 나눌 수 있고 그러면 A는 E의 상수배임을 얻습니다. 이 경우 A=kE로 두고(k 실수) 처음에 주어졌던 행렬의 이차방정식에 대입하며 풀면 됩니다. 즉, k^2 -(루트3)k +1 =0. 이걸 풀어서 나오는 k에 대해 kE 형태가 답입니다.

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GeonuPark · 367317 · 12/10/31 15:09 · MS 2011

A + A^(-1) = 루트3E
이 식과
A^2 + E = 루트3A
이 식을 동치시키려면 어떤 조건을 추가해야 하나요? 아니면 동치 자체가 불가한가요?

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syzy · 418714 · 12/10/31 15:14 · MS 2012

두 식은 동치입니다.
A+ A^-1 = (루트3) E 의 양변에 A를 곱하면, A^2 +E = (루트3) A

반대방향은..
A^2 +E = (루트3) A 의 양변에 A^-1를 곱하면 A+ A^-1 = (루트3) E 이니까요.

(단, 반대방향에서 A의 역행렬이 존재한다는 것은,
조건식A^2 +E = (루트3) A --> A^2 - (루트3) A + E = O --> A((루트3) E - A) = E
로부터 알 수 있습니다. (루트3) E -A가 A랑 곱해서 E니까 A의 역행렬이지요)

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GeonuPark · 367317 · 12/10/31 15:19 · MS 2011

와 이제 이해가 되었어요ㅎㅎ

정말 마지막 질문인데, 그렇다면 양변 제곱도 마찬가지로 불가한 것이었나요?

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syzy · 418714 · 12/10/31 15:22 · MS 2012

네 동치입니다. 제가 지금은 수업 가야 하는데 아무 때나 더 질문 올려놓으시면 빨리 답변 드릴게요~ (물론 제가 아는 한도 내에서..^^)

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