미분계수를어떻게이해해야되죵?

Question

곡선이있는데, 우선 곡선의 전체적인틀을파악하기위해 곡선위의두점을잡아서기울기로써 나타낸 평균변화율이라는게있는데, 그걸로는 곡선의디테일한부분을알수없기에점점 두점사이의거리르좁혀봅니다 그래서탄생한게미분계수.a점은 고정으로잡고 x점을 점점 극한을보내서 a로보내는건데미분계수라는건 0/0 꼴이잖아요.그래서 약간 뭔가 감이안잡혀요a와 x점의 기울기 에서 x점을 a점쪽으로보내는건데극한이란게 a점으로한없이보내는거지 a점이라는건아니잖아요.하지만한없이보내면 결국 최종목적지는 a점밖에될수없기때문에 극한값은 a가되는데자꾸,, x가 a로가면 0/0꼴에서 따로계산하면0/0이지만 약분이되어서 값이나오는건데자구 x가 a로가면 f(x)-f(a) /x-a 가 f(a)-f(a)/a-a 이렇게된다고느껴지는데;어떻게해야되죵?

나카렌 · Accepted Answer

3 3.1 3.14 3.141 3.1415 3.14159 3.141592 .....

이와 같은 수열을 생각해 보세요. 아마도, 원주율 pi로 수렴하겠죠? 그렇지만, 어떤 항도 pi가 되지는 못하지요. 각 항이 모두 유한소수이니까요.

함수의 극한에서도, 이와 비슷하다고 생각하면 됩니다.

sos440 · Answer

이렇게 생각해보세요. 이 경우 x를 a에 가깝게 한다는 것을 조금 다른 식으로 표현하면, (a, f(a))라는 점 근처로 점점 우리의 시각을 확대해나가는 것을 뜻합니다.

그런 의미에서 lim_{x→a} (f(x) - f(a))/(x - a) 를 보겠다는 것은, 우리가 (a, f(a)) 라는 점 주변에서 함수의 그래프를 점점 확대해나가는 것을 뜻하며, 결국 이 극한적인 상황에서 우리는 (좋은 함수의 그래프라면) 곡선이 점점 직선으로 펴지는 기적을 맛보게 될 것입니다.

그리고 이 기적의 증거물(?)인 직선의 기울기가 바로 미분계수가 됩니다.



음, 설명이 조금 안 와닿는다면... 기하학적인 색채를 좀 걷어내고 말해볼까요?

0/0 꼴이라는 것은 사실 눈속임입니다. 예를 들어서 3(x-a)/(x-a) 에서 x→a 를 취한다고 합시다. 그러면 분명 이 식은 0/0 꼴이지만, 사실 그 0이라는 것은 분모와 분자에 x-a 가 곱해져서 생긴 허상에 불과합니다.

중요한 것은 그 두 값의 비이지요.

마찬가지로 (x^2 - a^2)/(x - a) 에서도 분모와 분자가 모두 0으로 가서 뭔가 말이 안 되는 상황이 벌어진다고 여길 수도 있겠지만, 사실 분모와 분자에서 0을 주는 항인 x - a 는 여전히 허깨비에 불과하며, 이들은 이미 잘 약분이 되어서 (x^2 - a^2)/(x - a) = x + a 라는 결과를 줍니다.

비유적으로 표현하자면... 겉모습에 속지 마세요 =ㅁ= 원래 어떤 양이 있는데 단지 그것이 분모분자에 0으로 사라지는 양인 x-a 를 추가로 달고 있다고 생각하시면 좀 더 마음이 편할 겁니다.

미분계수를어떻게이해해야되죵?

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